materi peluang beserta contoh soalnya

JAWABAN SOAL MATERI PELUANG

1.      Permutasi merupakan penyusunan kumpulan angka/objek dalam berbagai urutan-urutan yang berbeda tanpa ada pengulangan. Di dalam permutasi, urutan sangat diperhatikan. setiap objek yang dihasilkan harus berbeda antara satu dengan yang lain. kita ambil contoh, urutan huruf ({ABC} berbeda dengan {CAB} begitu juga dengan {BAC) dan {ACB}).

2.      Kombinasi merupakan sebuah kumpulan dari sebagian atau seluruh objek dengan tidak memperhatikan urutannya. di dalam kombinasi, {AB} dianggap sama dengan {BA} sehingga sebuah kombinasi dari dua objek yang sama tidak dapat terulang.

3.      Faktorial bisa didefinisikan sebagai hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n, dimana n merupakan bilangan asli. Faktorial selalu dinotasikan dengan tanda seru “!”.

4.      Permutasi dengan Beberapa Unsur Sama, pada permutasi ini permutasi yang mempunyai susunan sama akan dihilangka. Banyaknya permutasi n unsur yang memuat a,b,dan c unsur yang sama dirumuskan sebagai berikut:

rumus permutasi unsur sama

Keterangan

• P = permutasi
• n = jumlah semua unsur
• a, b , c = unsur yang sama
• ! = nilai faktorial

5.     Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda

Pada permutasi jenis ini susunan huruf saling berbeda. Pada contoh diatas merupakan permutasi jenis ini

Rumus permutasi jenis ini adalah

rumus permutasi unsur berbeda

keterangan

P = permutasi

n = jumlah semua unsur

r = banyaknya unsur yang diambil

! = nilai faktorial

6.      Permutasi siklis adalah permutasi yang dibuat dengan cara menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu Rumus permutasi ini adalah P = (n – 1)!

7.      Peluang Dua Kejadian Saling Lepas
Kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika kejadian A dan B tidak dapat terjadi bersama-sama atau An B = 0atauP(An B) = O.Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling lepas maka berlaku:  P ( A U B ) = P (A) + P ( B )

8.      Dua Kejadian Saling Bebas
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika kejadian A dan B tidak saling memengaryhi. Artinya, terjadi atau tidak terjadinya kejadian A tidak memengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas maka berlaku:
P ( A ∩ B ) = P (A) x P (B)

9.      Dua Kejadian Tidak Saling Bebas (Bersyarat)
Jika kejadian A dan B dapat terjadi bersama-sama, tetapi terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan memengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B maka kejadian seperti ini dinamakan kejadian tidak saling bebas atau kejadian bersyarat . Jika A dan B adalah kejadian bersyarat maka berlaku:
P ( A ∩ B ) = P (A) x P (B│A)

10.  Contoh masalah

a.     Permutasi yang memuat beberapa unsur yang sama

Pada permutasi ini permutasi yang mempunyai susunan sama akan dihilangkan

Pada kata “BACA” terdapat dua huruf yang sama, yaitu A. Bagaimanakah permutasi huruf-huruf pada kata “BACA”?

Setelah disusun hasilnya adalah sebagai berikut
dimana terdapat 24 kemungkinan

BACA BAAC ABAC CBAA AABC
BAAC ACBA ABCA CAAB AACB
BCAA ACAB CABA CABA ACBA
BCAA AABC CAAB ABAC ACAB
BACA AACB CBAA ABCA

Nah jika mengamati 24 susunan huruf tersebut.

Tampak ada beberapa susunan huruf yang sama. Susunan yang sama tersebut adalah sebagai berikut

BACA ACBA AACB CABA
BAAC ACAB ABAC CAAB
BCAA AABC ABCA

Banyak permutasi huruf-huruf pada kata “BACA” adalah 12 atau 12 = 4 × 3 = (4 x 3 x 2 x 1) / (2 x 1) = 4!/2!

b.     Permutasi yang memuat beberapa unsur yang berbeda

Di kantor pusat DJBC Ada 3 orang staff yang dicalonkan untuk menjadi mengisi kekosongan 2 kursi pejabat eselon IV. Tentukan banyak cara yang bisa dipakai untuk mengisi jabatan tersebut?

jawab : Permutasi P (3,2), dengan n =3 (banyaknya staff) dan k =2 (jumlah posisi yang akan diisi)

c.      Contoh permutasi siklis

5 orang calon presiden tahun 2014 duduk disebuah meja berbentuk lingkaranuntuk saling berdiskusi. Ada berapa cara untuk menyusun kursi para calon presiden tersebut?
Jawab : (5-1)! = 4! = 1 x 2 x 3 x4 = 24
lainhalnya jika yang akan dicari permutasinya adalah objek-objek yang sejenis, misalnya sobat punya 5 buah kelereng yang akan disusung melingkar. Berpa cara untuk menyusunnya?
Jawab : (5-1)!/2 = 24/2 = 12

d.      Peluang kejadian saling lepas

Diketahui bahwa sebuah kantong berisi 4 bola merah, 3 bola putih, dan 3 bola hitam. Diambil sebuah bola secara acak, maka dari itu peluang terambil bola merah atau hitam adalah....

Pembahasan:

Maka dari itu jumlah semua bola yang terdapat dalam kantong adalah 4 + 3 + 3 = 10 bola. Dari 10 bola diambil satu bola.

·         A = kejadian terambil bola merah

·         B = kejadian terambil bola hitam

Bola merah ada 4, sehingga peluang terambil bola merah:

P(A) = 4/10

Bola hitam ada 3, sehingga peluang terambil bola hitam:

P(B) = 3/10

Peluang terambil bola merah atau hitam:

P(A∪B) = P(A) + P(B)

  = 4/10 + 3/10

  = 7/10

 

e.       Peluang kejadian saling bebas

Diberikan sebuah dadu yang dilemparkan satu kali. Maka coba tentukan peluang munculnya angka genap atau angka lebih besar dari 3.... 

Pembahasan:

Disini dapat kita lihat terdapat dua kejadian, kita namakan saja sebgai kejadian A dan kejadian B dengan ruang sampel pada pelemparan satu dadu.

·         A = kejadian munculnya angka genap

·         B = kejadian munculnya angka lebih besar dari 3

Selengkapnya data-datanya terlebih dahulu adalah:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

       n(S) = 6

A = {2, 4, 6}

       n(A) = 3

Maka peluang kejadian A adalah P (A) = n (A)/n(S) = 3/6.

B = {4, 5, 6}

       n(B) = 3

Maka peluang kejadian B adalah P (B) = n(B)/n(S) = 3/6.

Nah sepertinya terdapat dua angka yang sama dari A dan B diantaranya angka 4 dan 6, jadikan irisannya, A ∩ B.

A ∩ B = {4, 6}

n(A ∩ B) = 2

Sehingga peluang A ∩ B.

P (A ∩ B) = n (A ∩ B) / n (S) = 2 / 6 

f.       Dua Kejadian Tidak Saling Bebas (Bersyarat)

g.      Kombinasi

Sebuah perusahaan akan memilih 4 orang karyawan dari 10 orang yang lulus seleksi. Banyak cara perusahaan memilih keempat orang tersebut sama dengan ...
A. 5400
B. 5040
C. 420
D. 210
E. 105

Pembahasan:
10C4 = 10! / 4! (10 - 4)! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6! / 24 . 6! = 210
Jawaban : D

Sebuah kompetisi sepakbola diikuti 12 kesebelasan . Pada babak awal, setiap kesebelasan harus bertanding satu sama lain. Banyak pertandingan pada babak awal = ...
A. 132
B. 66
C. 33
D. 24
E. 12

Pembahasan
12C2 = 12! / 2! (12 - 2)! = 12 . 11 . 10! / 2 . 10! = 66
Jawaban: B

h.      Faktorial

Tentukan Nilai dari : 6!

Jawab : 6! = 6x5x4x3x2x1